Fourier-Reihe konv punktweise? < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] $f(x):=\begin{cases}e^{x}\mbox{, falls } x\in(0,2*\pi)\\ \frac{1}{2}*\left(e^{2*\pi}+1\right)\mbox{, falls } x\in\{0,2*\pi\}\end{cases}$. [/mm] |
Hallo!
Ich habe folgende Fourier-Koeffizienten berechnet:
[mm] $a_{k} [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi}*(e^{2*\pi}-1)*\frac{1}{1+k^{2}}$,
[/mm]
[mm] $b_{k} [/mm] = [mm] \frac{1}{\pi}*(e^{2*\pi}-1)*\frac{-k}{1+k^{2}}$,
[/mm]
also ist die Fourier-Reihe:
[mm] $F^{f}_{\infty}(x) [/mm] = [mm] \frac{a_{0}}{2} [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}*\cos(k*x) [/mm] + [mm] \sum_{k=1}^{\infty}b_{k}*\sin(k*x)$
[/mm]
$= [mm] \frac{a_{0}}{2} [/mm] + [mm] \frac{e^{2*\pi}-1}{\pi}*\left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1+k^{2}}*\cos(k*x) + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{-k}{1+k^{2}}*\sin(k*x)\right)$
[/mm]
Von der linken kann ich ja behaupten, dass sie gleichmäßig konvergiert, aber was kann ich über die rechte Reihe aussagen?
Vielen Dank für eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:09 Do 29.04.2010 | | Autor: | fred97 |
Deine Rechnungen habe ich nicht überprüft, aber es gilt folgender
Satz: Ist die 2 [mm] \pi [/mm] - periodische Funktion f auf [0, 2 [mm] \pi] [/mm] stückweise stetig differenzierbar, so konvergiert ihre Fourierreihe auf jedem kompakten Teilintervall, das keine Unstetigkeitsstellen von f enthält, gleichmäßig.
FRED
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Hallo Fred,
danke für deine Antwort!
Heißt das, ich muss jetzt zunächst prüfen, ob die Reihe
[mm] $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{1+k^{2}}\cdot{}\sin(k\cdot{}x)$
[/mm]
stückweise stetig differenzierbar ist?
Dazu berechne ich die Folge der Ableitungen:
[mm] $\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{1+k^{2}}\cdot{}\cos(k\cdot{}x)$
[/mm]
$= [mm] \sum_{k=1}^{n}\cos(k\cdot{}x) [/mm] - [mm] \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+k^{2}}*\cos(k\cdot{}x)$
[/mm]
Die zweite Teilreihe lässt sich wiederum durch [mm] \sum\frac{1}{k^{2}} [/mm] majorisieren (??); bei der ersten Teilreihe weiß ich aber nicht, was ich über sie aussagen kann...
Nützt mir die Identität
[mm] $\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos(k\cdot{}x) [/mm] = [mm] \frac{\sin((n+\frac{1}{2})*x)}{2*\sin(\frac{1}{2}*x)}$
[/mm]
etwas? Da bekomme ich doch, dass diese Reihe für alle [mm] x\in\IR [/mm] zumindest überhaupt konvergiert; aber konvergiert sie auch gleichmäßig?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:28 Do 29.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
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> danke für deine Antwort!
>
> Heißt das, ich muss jetzt zunächst prüfen, ob die Reihe
>
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{1+k^{2}}\cdot{}\sin(k\cdot{}x)[/mm]
>
> stückweise stetig differenzierbar ist?
Nein ! Zeige:
$ [mm] f(x):=\begin{cases}e^{x}\mbox{, falls } x\in(0,2\cdot{}\pi)\\ \frac{1}{2}\cdot{}\left(e^{2\cdot{}\pi}+1\right)\mbox{, falls } x\in\{0,2\cdot{}\pi\}\end{cases} [/mm] $
ist stückweise stetig differenzierbar.
FRED
> Dazu berechne ich die Folge der Ableitungen:
>
> [mm]\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}}{1+k^{2}}\cdot{}\cos(k\cdot{}x)[/mm]
>
> [mm]= \sum_{k=1}^{n}\cos(k\cdot{}x) - \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+k^{2}}*\cos(k\cdot{}x)[/mm]
>
> Die zweite Teilreihe lässt sich wiederum durch
> [mm]\sum\frac{1}{k^{2}}[/mm] majorisieren (??); bei der ersten
> Teilreihe weiß ich aber nicht, was ich über sie aussagen
> kann...
> Nützt mir die Identität
>
> [mm]\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^{n}\cos(k\cdot{}x) = \frac{\sin((n+\frac{1}{2})*x)}{2*\sin(\frac{1}{2}*x)}[/mm]
>
> etwas? Da bekomme ich doch, dass diese Reihe für alle
> [mm]x\in\IR[/mm] zumindest überhaupt konvergiert; aber konvergiert
> sie auch gleichmäßig?
>
> Vielen Dank für Eure Hilfe!
> Grüße,
> Stefan
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Danke Fred,
jetzt hab ich's verstanden!
Grüße,
Stefan
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