Konvergenz von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 Di 17.11.2009 | | Autor: | Filo |
| Aufgabe | | Die Folgen a(n) und b(n) konvergieren genau dann, wenn (a(n)+b(n)) und (a(n)-b(n)) konvergieren. Wahr oder Falsch? |
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Hallo zusammen!
Die vorangegangen Aufgabenstellung, zu widerlegen, dass Summe,Differenz,Produkt und Quotient zweier divergenter Folgen ebenfalls divergent sei, war noch relativ simpel. Da habe ich dann einfach jeweils Gegenbeispiele finden können.
Bei dieser hier tu ich mich allerdings etwas schwer. Hab da quasi ne Blockade, weil ich ja nich von dem Schluss auf a(n) und b(n) einzeln zurück auf die Summe und die Differenz schließen kann.
Wie kann ich da anders vorgehen?
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Zeig [mm] |a_n-a|\to [/mm] 0 und [mm] |b_n-b|\to [/mm] 0 dann [mm] |(a_n [/mm] + [mm] b_n) [/mm] - [mm] (a+b)|\to [/mm] 0 mit Hilfe der Dreiecksungleichung (vorher richtig aufdröseln). Dasselbe mit Minus, oder definiere einfach [mm] c_n=-b_n.
[/mm]
Umgekehrt: [mm] a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] und [mm] a_n [/mm] - [mm] b_n [/mm] konvergent dann auch die Summen und Differenzen der beiden Ausdrücke, was ja gerade im 1. Teil gezeigt wird. Somit 2 [mm] a_n [/mm] und 2 [mm] b_n [/mm] konvergent und damit auch [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n.
[/mm]
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