Varianz von aX + bY (X,Y ZV) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:02 Mi 08.08.2007 | | Autor: | westpark |
Hallo Freunde,
ich habe eine Aufgabe samt einer Musterlösung. Ich selbst habe die Aufgabe zuvor auf andere Weise gelöst aber unverständlicherweise mit anderem (folglich falschen) Endergebnis.
Könnte mir jemand bitte sagen, wo der Fehler liegt?
Zur Aufgabe:
Gegeben seien zwei unkorrelierte Zufallsvariablen X, Y, von denen X rechteckverteilt sei auf dem Intervall (a,b) = (-2,4) und Y exponentialverteilt mit Parameter [mm] \lambda [/mm] = 1/2.
[Damit ergeben sich schonmal folgende Erwartungswerte bzw. Varianzen: EX = 1, VarX = 3, EY = 2, VarY = 4]
Weiter sei V = 3X + Y - 5 [damit folgt: EV = 3*EX + EY - 5 = 0]
Berechnen möchte ich die Varianz von V.
Ein Weg wäre: VarV = Var(3X+Y-5) = Var(3X+Y) = Var(3X)+VarY - 2*Cov(3X,Y), wobei der letzte Summand = 0 ist, da X,Y und damit auch 3X,Y unkorreliert sind.
Es folgt daher: Var(3X)+VarY = 9Var(X)+VarY = 9*3 + 4 = 31.
Dieses Vorgehen kann ich absolut nachvollziehen, aber wo liegt der Fehler im folgenden Vorgehen?
VarV = Var(3X+Y) = E([3X+Y]²) - E²V = E(9X²+6XY+Y²) - 0² = 9E(X²)+6E(XY)+E(Y²)
Aus VarX = EX² - E²X folgt die Identität E(X²) = VarX + E²X = 3 + 1² = 4.
Analog für Y: E(Y²) = VarY + E²Y = 4 + 2² = 8
E(XY) = Cov(X,Y) + EX*EY = EX*EY = 2
Einsetzen der Werte: VarV = 9E(X²) + 6*EX*EY + E(Y²) = 9*4 + 6*2 + 8 = 56.
Über eine themabezogene Antwort würde ich mich sehr freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Mi 08.08.2007 | | Autor: | felixf |
Hoi Westpark
> Zur Aufgabe:
> Gegeben seien zwei unkorrelierte Zufallsvariablen X, Y,
> von denen X rechteckverteilt sei auf dem Intervall (a,b) =
> (-2,4) und Y exponentialverteilt mit Parameter [mm]\lambda[/mm] =
> 1/2.
> [Damit ergeben sich schonmal folgende Erwartungswerte bzw.
> Varianzen: EX = 1, VarX = 3, EY = 2, VarY = 4]
> Weiter sei V = 3X + Y - 5 [damit folgt: EV = 3*EX + EY - 5
> = 0]
>
> VarV = Var(3X+Y) = E([3X+Y]²) - E²V = E(9X²+6XY+Y²) - 0² =
> 9E(X²)+6E(XY)+E(Y²)
Hier liegt der Fehler: wenn du $Var(3X+Y)$ berechnest, musst du [mm] $E((3X+Y)^2) [/mm] - [mm] E^2(3X+Y)$ [/mm] berechnen, und nicht [mm] $E((3X+Y)^2) [/mm] - E^2V$!
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:33 Do 09.08.2007 | | Autor: | westpark |
oh man, wie blöd und unachtsam von mir. und dafür rechnete ich es mindestens 5mal nach :(
vielen vielen dank. da fühlt man sich gleich besser, wenn man eine ungereimheit hat aufklären können...
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