zyklische Untergruppen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Mi 10.02.2010 | | Autor: | one |
| Aufgabe | Schreibe folgende Abelsche Gruppe
i) als direktes Produkt zyklischer Untergruppen von Primzahlpotenzordnung
ii) in der Form [mm] \IZ/n_1 [/mm] x ... x [mm] \IZ/n_r [/mm] mit [mm] n_r|n_{r-1}|...|n_2|n_1
[/mm]
[mm] (\IZ/100\IZ)^{\*} [/mm] |
i)
Es gilt:
[mm] (\IZ/100\IZ)^{\*} \cong (\IZ/4\IZ)^{\*} [/mm] x [mm] (\IZ/25\IZ)^{\*} [/mm] da 4 und 25 teilerfremd sind.
[mm] \#(\IZ/4\IZ)^{\*} [/mm] = 2 also ist [mm] (\IZ/4\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ
[/mm]
[mm] \#(\IZ/25\IZ)^{\*} [/mm] = 20 also ist [mm] (\IZ/25\IZ)^{\*} \cong \IZ/2^2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/5\IZ [/mm] ODER [mm] (\IZ/25\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ) [/mm] x [mm] \IZ/5\IZ
[/mm]
Also ist dann [mm] (\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2^2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/5\IZ
[/mm]
ODER [mm] (\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/5\IZ
[/mm]
kann ich nun noch einen dieser Fälle ausschliessen?
ii)
[mm] (\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/20\IZ [/mm]
ODER
[mm] (\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/10\IZ
[/mm]
Stimmt dies alles ungefähr?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Mi 10.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Schreibe folgende Abelsche Gruppe
> i) als direktes Produkt zyklischer Untergruppen von
> Primzahlpotenzordnung
> ii) in der Form [mm]\IZ/n_1[/mm] x ... x [mm]\IZ/n_r[/mm] mit
> [mm]n_r|n_{r-1}|...|n_2|n_1[/mm]
>
> [mm](\IZ/100\IZ)^{\*}[/mm]
> i)
>
> Es gilt:
>
>
> [mm](\IZ/100\IZ)^{\*} \cong (\IZ/4\IZ)^{\*}[/mm] x [mm](\IZ/25\IZ)^{\*}[/mm]
> da 4 und 25 teilerfremd sind.
>
> [mm]\#(\IZ/4\IZ)^{\*}[/mm] = 2 also ist [mm](\IZ/4\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ[/mm]
Genau.
> [mm]\#(\IZ/25\IZ)^{\*}[/mm] = 20 also ist [mm](\IZ/25\IZ)^{\*} \cong \IZ/2^2\IZ[/mm]
> x [mm]\IZ/5\IZ[/mm] ODER [mm](\IZ/25\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ)[/mm]
> x [mm]\IZ/5\IZ[/mm]
>
> Also ist dann [mm](\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2^2\IZ[/mm]
> x [mm]\IZ/5\IZ[/mm]
> ODER [mm](\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x
> [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/5\IZ[/mm]
>
> kann ich nun noch einen dieser Fälle ausschliessen?
Nun, schau dir mal [mm] $(\IZ/25\IZ)^\ast$ [/mm] genauer an. Die Restklassenabbildung [mm] $\IZ/25\IZ \to \IZ/5\IZ$ [/mm] induziert einen surjektiven (!) Homomorphismus [mm] $(\IZ/25\IZ)^\ast \to (\IZ/5\IZ)^\ast$. [/mm] Letzteres ist eine abelsche Gruppe mit 4 Elementen. Allerdings weisst du noch mehr: es ist eine zyklische Gruppe, da [mm] $\IZ/5\IZ$ [/mm] ein endlicher Koerper ist!
Damit enthaelt [mm] $(\IZ/5\IZ)^\ast$ [/mm] ein Element der Ordnung 4 (sagen wir mal $x$), und auch [mm] $(\IZ/25\IZ)^\ast$ [/mm] muss somit ein Element der Ordnung 4 enthalten (jedes Urbild von $x$ hat eine Ordnung, die ein Vielfaches von 4 ist).
Damit ist [mm] $(\IZ/25\IZ)^\ast$ [/mm] eine abelsche Gruppe, die ein Element der Ordnung 4 und ein Element der Ordnung 5 enthaelt. Was folgt daraus?
> ii)
>
>
> [mm](\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/20\IZ[/mm]
>
> ODER
>
> [mm](\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/10\IZ[/mm]
Welches von beiden richtig ist zeigt sich aus (i).
> Stimmt dies alles ungefähr?
Ja.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Mi 10.02.2010 | | Autor: | one |
Hallo,
also somit ist [mm] (\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/4\IZ [/mm] x [mm] \IZ/5\IZ
[/mm]
und also auch [mm] (\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/20\IZ [/mm] .
Ok?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:24 Mi 10.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo,
>
> also somit ist [mm](\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/4\IZ[/mm]
> x [mm]\IZ/5\IZ[/mm]
>
> und also auch [mm](\IZ/100\IZ)^{\*} \cong \IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/20\IZ[/mm]
> .
>
> Ok?
Genauso ist es!
LG Felix
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